Расчёт локсодромии при помощи "Useful tables from the American practical navigator"

Материал из База знаний
Перейти к: навигация, поиск

Несмотря на несколько пугающее название, локсодромией принято называть прямую линию, пересекающую меридианы под неизменным углом.

Но так как Земля давно уже не плоская, а имеет форму, близкую к шару, движение по этой линии часто оказывается не самым кратчайшим путём. Кратчайшей будет другая линия, которую называют ортодромия.

Несмотря на это, в первой половине прошлого столетия мореходы и авиаторы чаще прокладывали маршруты именно по локсодромии. Объяснялось это тем, что она имеет весьма полезные для навигации свойства. Главное из них - простота применения.

Мореходы издавна используют карты в Меркаторской проекции. Эта проекция является равноугольной, что обеспечивает наглядный графический способ учета движения, связанный с прокладкой на карте пути судна (счисление) и с построением углов (пеленгов), под которыми с судна наблюдают различные ориентиры. Это означает, что навигатору для расчётов и графических построений достаточно иметь лишь транспортир, линейку и карандаш.

Другое важное свойство локсодромии уже упоминалось - она пересекает меридианы под неизменным углом. Поэтому путь судна, идущего с постоянным курсом, будет совпадать с локсодромией. За это свойство моряки называют её линией постоянного курса или "rhumb line".

В эпоху надёжных гироскопов, инерциальных систем и спутниковой навигации, заставить лететь самолёт по локсодромии не так то просто. Но до середины прошлого века, пока основным курсовым прибором самолёта являлся магнитный компас, а карты использовались Меркаторские, локсодромия являлась основным способом задания маршрута.

Бомбардировщик B-29 в сборочном цехе

Тем не менее, навигаторов всё же предостерегали от использования локсодромий выше 65-й параллели и на маршрутах протяжённостью более 1000 миль. В таких случаях, в целом, маршрут вычислялся по ортодромии, а затем разбивался на более короткие локсодромические участки.

Надо заметить, что в те годы не существовало портативных калькуляторов, а компьютером называли любой механизм, позволяющий что-либо рассчитать, например, такое устройство как E-6B. Более сложные расчёты выполнялись при помощи сборников таблиц.

Попробуем и мы окунуться в то интересное время. Например, лето 1944 года.Рассчитаем маршрут через Атлантику для новенького B-29, который нужно перегнать к месту несения службы, в Китай. Общий маршрут перегонки был таков: Гэндер - Марракеш - Каир - Карачи - Калькутта.

Пока ещё наш бомбардировщик на стапелях сборочного цеха, есть время подготовиться к атлантическому участку перелёта Гэндер - Марракеш. Заберёмся в кабину другого свободного бомбардировщика и сядем за столик. Собственно, в те года, даже на суперсовременном B-29, основным прибором навигатора оставался именно его столик. И это понятно, потому что применение любых других навигационных приборов, всегда(!) завершалось получением результата на столике навигатора. А ещё под ним есть удобный ящичек, в котором удобно хранить наиболее часто используемые навигатором инструменты, это, как уже говорилось, карандаши, линейки, транспортиры и расчётчики.

Рабочее место навигатора в B-29

Для расчёта перелёта от Гэндера (Ньюфаундленд) в Марракеш (Марокко) взглянем на карту через on-line планировщик skyvector.com.

Гэндер - Марракеш

Планировщик автоматически выдал и путевой угол, но он нас не интересует. Он ортодромический, к тому же магнитный. А магнитное склонение планировщика может не соответствовать тому, что используется в симуляторе. Зато замечаем, что недалеко от маршрута находятся Азорские острова. Для навигации того периода, важнее была не протяжённость маршрута, а наличие надёжных способов ориентирования. Поэтому, маршрут, пусть и более протяжённый чем ортодромия, но имеющий посередине такой крупный визуальный ориентир, как группа островов, представляется более предпочтительным.

Азорские острова(Кликнуть для увеличения)

Учитывая всё вышесказанное прокладываем локсодромии (а у skyvector.com карта Меркаторская) через Азорские острова.

Кликнуть для увеличения

Определяем координаты трёх точек маршрута.

  • Начальная (НПМ) Gander 48*58'N 054*40'W
  • Промежуточная (ППМ) Lajes 38*47'N 027*07'W
  • Конечная (КПМ) Marrakech 21*36'N 007*58'W
Gander 48*58'N 054*40'W
Lajes 38*47'N 027*07'W
Marrakech 21*36'N 007*58'W



Переписываем координаты первых двух точек (Gander и Lajes) в специальный бланк Военного департамента США. Данный бланк имеется в составе, так называемой Form No. 21, которая действовала на интересующий нас момент, то есть 1944 год.

Для решаемой задачи (определение путевого угла и длины линии постоянного курса) требуется бланк Form No. 21G, позволяющий получить ответ из географических координат начальной и конечной точек маршрута. После записи координат в верхней строчке, дублируем их в "рабочие" позиции и рассчитываем разности широт и долгот. Разности переводятся в географические минуты и ставится направление. В данном случае, широта уменьшается от НПМ к ППМ, значит направление южное - "S". Долгота уменьшается к востоку, направление "E".

Полученные разности (DL и DLo) переносим ниже, в соответствующие позиции.

Rumbline07.jpg

Решение задачи (определение путевого угла (Course) и длины маршрута (Dist)) сводится к решению обычного прямоугольного треугольника. Катетами в нём являются разности долгот (DLo) и широт (DL). Гипотенуза, это собственно сам маршрут (Dist), а путевой угол - дополнение до 180 градусов верхнего угла треугольника.

На небольших расстояниях такой способ даёт достаточную точность. Но на протяжённом маршруте её может быть недостаточно.

Ведь форма Земли, в вертикальном сечении, близка к форме эллипса и поэтому, расстояние между параллелями к полюсам немного увеличивается. А ведь мы приняли, раз и навсегда, что одна минута широты равна одной навигационной (морской) миле? Значит, на карте расстояние в милях, между параллелями, должно быть постоянным. Но если сохранять его постоянным и в миллиметрах, то придётся изменять расстояние между меридианами (т.е. "загибать" их к полюcам) и локсодромия перестанет быть прямой линией и пересекать меридианы под постоянным углом. То есть, потеряет свои замечательные свойства.

С этим навигаторы никак не могли согласиться и стали использовать для расчёта протяжённых маршрутов уже не разность широт, а разность меридиональных частей (Mer DL), что и показано ниже на рисунке. Требуется решить всего лишь пару формул из школьного курса геометрии.

Вычисление путевого угла Course и дистанции Dist(гипотенузы прямоугольного треугольника)

Величины меридиональных частей можно взять из специальных таблиц. Для 1944 года лучше подходит сборник "Useful tables from the American practical navigator", издания 1940 года, рекомендованный для ВМФ США.

Находим в нём таблицы меридиональных частей

Определяем меридиональные части для широт НПМ и ППМ

Меридиональная часть для широты 48*58' равна 3361.4'
Меридиональная часть для широты 38*47' равна 2513.6'


И заносим полученные из них значения меридиональных частей (они даются в минутах, в экваториальных кажется) на бланк.

Тут же считаем разность меридиональных частей (Mer DL) и размещаем результат в соответствующих позициях

Rumbline12.jpg

Осталось произвести вычисления. Так как микрокалькуляторами экипажи B-29 не обеспечивались, воспользуемся замечательным свойством логарифмов. А именно тем, что сумма логарифмов чисел соответствует произведению этих чисел, а разность соответствует делению. В XVI веке это открытие произвело фурор и навеки прославило Джона Непера, славного представителя семьи баронов Мерчинстонских.

Для начала необходимо получить логарифмы обрабатываемых чисел.

Таблицы логарифмов

Выбираем нужные страницы и готовим сами числа. На этом остановимся немного подробнее. Автор не знает, обучают ли сейчас в школах работе с логарифмическими таблицами, кроме того, сам испытал некоторые трудности при расчёте данного примера. Пришлось кое что вспоминать. Но как обычно, основные проблемы только из-за невнимательности.

Прежде всего приводим числа (DLo, MerDL и DL) в виду X.XXXX. То есть ставим десятичную точку после первой значащей цифры и запоминаем порядок. Порядок, это количество знаков, на которые пришлось сдвинуть десятичную точку. Например, для первого числа 1653, запись будет следующая 1.653, порядок 3. Второе (847.8) запишется как 8.478, порядок 2. Порядки чисел можно сразу вписывать в бланк, как первые цифры перед запятой. Далее в таблицах ищем остальные цифры. Для первого числа (1.653) они будут 21827. То есть, учитывая его порядок ( мы выше его определили как 3), запишем значение логарифма 3.21827

Логарифм числа 1653 равен 3.21827
Логарифм числа 847.8 равен 2.92829
Логарифм числа 611 равен 2.78604

Переносим результаты на бланк и выполняем согласно его схеме вычитание Log(DLo) - Log(Mer.DL). Результат пишем в позицию LogTan(Course))

Rumbline17.jpg

То что мы сейчас сделали двумя табличными преобразованиями и простым вычитанием, ни что иное, как определили тангенс угла, то бишь вплотную подошли к моменту определения путевого угла нашего маршрута. Для определения самого угла листаем сборник таблиц до логарифмов тригонометрических функций.

Логарифмы тригонометрических функций

С этими таблицами нужно быть особо внимательными. В них можно заходить и сверху и снизу. Причём столбцы вверху обозначают одну функцию, а внизу уже другую. Для тригонометрических функций это обычное дело.

Лист из таблиц Логарифмов тригонометрических функций

Листаем таблицу до тех пор пока в столбике Tan (тангенс) не найдём полученное нами число 0.28998. А точнее, 10.28998. Десятка добавляется для... Ну короче, в сборнике объясняется, что это для того-то и того-то, связанное со знаками. Что бы не загромождать, просто запомним, что десятку надо прибавлять когда входим в таблицу "изнутри" (т.е. находим не сам логарифм, а значение тригонометрической функции), а при определении логарифма функции - вычитать. Ну вот и наша страничка со значением тангенса 10.28998. Снимаем с неё величину угла (62*51') и тут же определяем логарифм секанса этого угла. Автор очень жалеет, что в школе ему не объяснили смысл этой функции. Ну подумаешь, обратная величина косинуса (единица делённая на синус). То же самое и с косекансом, это единица делённая на синус. Ну и чем они полезны? Оказывается, эти функции очень удобны именно для табличных расчётов и записи формул. В век же, мощных компьютеров они потеряли свою актуальность. Жаль что в школе про это не объяснили.

Что ж, вернёмся к расчёту.

Логарифм тангенса, равный 0.28998 (10.28998), соответствует углу 62*51'. Логарифм секанса угла 62*51' равен 0.34073(10.34073)

Теперь осталось записать в свои позиции значение угла и логарифма секанса этого угла. Последний понадобится нам для определения дальности полёта. Не забываем из значения логарифма секанса вычесть 10 (выше об этом говорилось). Путевой угол получается дополнением до 180 значения угла треугольника(см. прямоугольный треугольник в начале статьи). Отнимаем полученное нами значение 62*51' из 180 градусов и в результате получаем значение 117*9'. Это наш путевой угол. Осталось рассчитать дистанцию. Суммируем логарифм секанса нашего угла и логарифм DL (это соответствует делению DL на косинус), записываем значение в бланк.

Rumbline21.jpg

Теперь, по таблице логарифмов, обратным порядком из числа 3.12677 находим значение дальности - 1339 морских миль.

Логарифм равный 3.12677 соответствует числу 1339
Дистанция 1339 nm, путевой угол 117 градусов

Проверяем себя на компьютерном расчётчике и удовлетворяемся результатом.

Дистанция 1335 nm, локсодромический путевой угол 117 градусов


Кто-то наверное назовёт это долгим и запутанным процессом. Возможно. Но во-первых, это дело привычки и, прежде всего внимательности. В навигации тех времён это пожалуй главное. Ну а во-вторых, люди ведь именно так летали, причём расчёты велись совсем в иных условиях. Представьте заброску на Северный полюс папанинцев в 1937 году. Штурман Валентин Аккуратов на острове Рудольфа. В избушке, у керосиновой лампы с астрономическим ежегодником и логарифмической линейкой. А ведь там приходилось решать задачки далеко не из школьного курса геометрии, как, например, наша сейчас.

Первый участок маршрута рассчитан, всё понятно и просто. Второй участок интересно рассчитать каким-нибудь иным способом. Не знаю, был ли у навигаторов B-29 прибор, аналогичный НЛ-10М, но их штатный расчётчик E-6B, в отличии от нашей линейки, с синусами и тангенсами не работает. Применим линейку.

Начало тоже самое. Записываем на продолжении бланка новые координаты. Это тот же Lajes, бывший ППМ, превратившийся теперь в НПМ и конечный пункт (КПМ) Marrakech.

  • Lajes 38*47'N 027*07'W
  • Marrakech 21*36'N 007*58'W

Привычно переписываем координаты в первую строку бланка. Далее разносим их по соответствующим позициям и вычисляем разности. Переписываем разности в соответствующие поля и, в отличие от первого этапа, у нас готова одна меридиональная часть, для Lajes, 2513.6

Rumbline25.jpg

Меридиональную часть для Марракеша определяем по таблице

Меридиональная часть для широты 31*36' равна 1987.9'

Вычисляем разницу меридиональных частей и разносим исходные цифры по позициям бланка, как и в первый раз.

Rumbline27.jpg

Самое время браться за таблицы логарифмов, но вспоминаем, что проверяем пригодность навигационной линейки к данному виду задач. Она ведь работает на тех же логарифмах и отличается от таблиц только точностью. Смотрим на бланк и видим, что для начала нужно разделить DLo на Mer.DL, а затем, по этому частному, определить на шкале тангенсов величину верхнего угла нашего треугольника.

1149 / 525.7 = 2.2

Получилось 2.2 "и чуть-чуть поменьше". На всякий случай будем стараться быть точнее. Результат больше единицы, поэтому сдвигаем визирку на такое же число, но на нижней шкале, правее "единицы тангенса" (на линейке это число 100, от которого отсчитываются тангенсы), тогда значение угла будет правильным.

Переносим визиркой результат на нижнюю шкалу за единицу тангенса (число 100)

Теперь сдвигаем бегунок так, что бы его чёрный треугольник встал напротив единицы тангенса (число 100) и считываем на визирке величину верхнего угла нашего треугольника. Всё!

Снимаем значение тангенса в градусах. Результат 65.2

Всего за за два движения получили величину верхнего угла рассчитываемого треугольника 65.2 градуса. Берём, как и раньше, его дополнение до 180 (попросту вычитая величину угла из 180) и получаем значение путевого угла - 114.8 градуса.

Записываем величину верхнего угла треугольника (65.2) и, дополнением до 180 определяем путевой угол (114.8 градуса)

Теперь осталось определить лишь дистанцию. Она равна (глядим на расположение позиций бланка) DL умноженному на секанс нашего угла. Секанс угла, это величина, обратная косинусу того же угла. Что бы посчитать на НЛ-10М косинус (а на ней нанесена лишь шкала синусов), дополняем величину угла до 90 градусов (просто вычитаем его величину из 90) и получаем 24.8 градуса. Синус 24.8 равен косинусу от 65.2. Теперь осталось разделить DL=431 на sin(24.8*). Это всё равно что умножить на секанс от 65.2, как при вычислениях на бланке.

431*Sec(65.2)=431/Cos(65.2)=431/Sin(90-65.2)=1030nm

Итак, длина второго участка маршрута (Lajes-Marrakech) составляет 1030 морских миль.

Дистанция 1030 nm, путевой угол 115 градусов

Контролируем правильность вычислений на компьютере. Результат замечательный и обошлись без логарифмических таблиц. Впрочем, исторически это наверное было бы не совсем верно, ибо пока не попадался ещё, кроме советской навигационной линейки НЛ-8, навигационный расчётчик того периода имеющий шкалы тригонометрических функций. Они эти дела любят на окружности решать. Хотя, в принципе, любая обычная логарифмическая линейка того времени наверняка позволяла работать с логарифмами тригонометрических функций.

Дистанция 1032 nm, локсодромический путевой угол 115 градусов

Удаление и ИПУ нам известны, теперь можно лететь в Марокко. Но только не забудьте на маршруте учесть магнитное склонение.

Худ. Уинстон Черчилль. Он же сэр Уинстон Черчиль, бывший премьер Великобритании и просто человек считавший Марракеш одним из самых красивейших мест на Земле

Алексей (UEMJ)